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Logische Systeme

Es gibt eine syntaktische und eine semantische Ebene

Repräsentation: W --> folgt logisch --> B

Welt: Semantik(W) --> folgt notwendigerweise --> Semantik (B)

W und Semantik(W) sowie B und Semantik(B) sind über die Semantik miteinander verknüpft. Die Welt und Repräsentationen sollen sich entsprechen! Man kann / darf das aber natürlich nicht übertreiben.

Korrektheit der Simulation

Inferenzrelation benötigt die Formalisierung eines logischen Systems:

• Syntax
• Semantik
• Inferenzregeln
• Korrektheitskriterien

Signaturen

Vokabular, mit dem syntaktische Beschreibungen zur Repräsentation von Wissen gebildet werden.

Formeln

Syntax zur Darstellung von Wissen, Symbolen in SIGMA (Alphabet / Signaturen) dienen als Basiselemente

Interpretationen

liefern die Semantik

Erfüllungsrelation |=: verknüpft Interpretation und Formeln:

I |= F

"Die Interpretation I erfüllt die Formel F"

|- wird syntaktisch angewandt, |= ist für die Semantik zuständig.

Signaturen SIGMA
Formeln Form(SIGMA)
Interpretationen Int(SIGMA)
Erfüllungsrelation |=_SIGMA

Klassische Logik

In der Klassischen Logik definiert jede InterpretationI? eine Wahrheitswertfunktion |[_]|_I

I |= _SIGMA F iff |[ F ]|_I = true

Tautologie

allgemeingültige Formel, T. Allgemeingültig, in _jeder_ Interpretation wahr.

erfüllbare Formel

es gibt mindestens eine Interpretation, für die die Formel wahr ist

Kontradiktionen (widersprüchliche Formeln, _|_)

_immer_ falsch.

G folgt logisch aus F ( F |= G )

gdw (genau dann wenn)

jedes Modell von F ist Modell von G

Mod_SIGMA (F) Unterteilmenge von Mod_SIGMA(G)

wobei

Mod_SIGMA (F) = { I (- Int(SIGMA) | I |=_SIGMA F }

Modelle sind alle Interpretationen, die angewendet auf die Formel wahr ergeben.

klassisch-logischer Inferenzoperator:

C_n: 2^{Form(SIGMA)} -> 2^{Form(SIGMA)}

alle Formeln, die

C_n(F):= { G (- Formel (SIGMA) | F |= G }

Eine Menge von Formeln F (- Formel (SIGMA) ist (deduktiv) abgeschlossen, genau dann wenn

C_n(F) = F

Alles Ableitbare ist hier in F vorhanden.

Deduktionstheorem:

F |= G gdw |= F => G

(kennen wir aus der Algebra)

2^Form(SIGMA) = P^Form(SIGMA)

deduktiv abgeschlossen heißt auch: riesig (bis unendlich) und schwer zu repäsentieren. Jedoch gut geeignet für die theoretische Unterstützung von Kalkülen.

GAMMA |= A -> B

zu zeigen: A -> B

GAMMA, A |= B

In nicht klassischen Logiken gilt deduktiv oft nicht oder nur mit Einschränkungen.

AussagenLogik

Last modified 2005-03-07 19:09 by rck